Kaip spręsti lygtis aiškiai ir be spėliojimo

Lygtis nėra mįslė, kuriai reikia atspėti atsakymą. Ji turi aiškią logiką, o supratus ją klausimas, kaip spręsti lygtis, tampa nebe bauginantis, bet nuspėjamas. Dažniausiai sunkumų kelia ne pats nežinomasis x, o skubėjimas: praleistas ženklas, netvarkingai perrašyta eilutė arba veiksmai, atlikti tik vienoje lygties pusėje.

Gera žinia tokia: lygtis galima spręsti pagal sistemą. Ji padeda ir penktokui, kuris tik pradeda dirbti su nežinomuoju, ir vyresnių klasių mokiniui, besiruošiančiam kontroliniui, PUPP ar VBE. Svarbiausia yra suprasti, kodėl atliekamas kiekvienas veiksmas, o ne įsiminti atsitiktines taisykles.

Ką iš tikrųjų reiškia lygtis?

Lygtis yra teiginys, kad du reiškiniai yra lygūs. Lygybės ženklas nereiškia „dabar rašome atsakymą“. Jis reiškia pusiausvyrą: tai, kas yra kairėje, turi būti tiek pat verta, kiek tai, kas yra dešinėje.

Pavyzdžiui, lygtis `x + 4 = 11` klausia: kokį skaičių pridėję prie 4 gausime 11? Atsakymas yra 7, nes `7 + 4 = 11`. Sprendžiant sudėtingesnes lygtis principas nesikeičia, siekiame palikti nežinomąjį vieną, o visi veiksmai abiejose pusėse turi išlaikyti pusiausvyrą.

Galima įsivaizduoti svarstykles. Jei prie vienos lėkštės pridedate 3, tiek pat turite pridėti ir prie kitos. Jei iš vienos pusės atimate 5, tą patį darote ir kitoje. Būtent dėl to lygties narys „perkeliamas“ į kitą pusę ne dėl magiško ženklo pakeitimo, o todėl, kad atliekame tą patį veiksmą abiejose lygties pusėse.

Kaip spręsti lygtis: patikima veiksmų seka

Pirmiausia ramiai perskaitykite lygtį ir nuspręskite, ko siekiate: nežinomasis turi likti vienoje pusėje, o skaičiai, kitoje. Tuomet supaprastinkite abi puses, jei jose yra skliaustų ar panašių narių. Po to taikykite priešingus veiksmus, kol gausite `x = …`. Pabaigoje visada patikrinkite atsakymą.

1. Panaikinkite veiksmus aplink nežinomąjį

Tarkime, turime lygtį:

`5x, 7 = 18`

Prie x yra atlikti du veiksmai: x padaugintas iš 5, o tada atimta 7. Juos panaikiname atvirkštine tvarka. Pirmiausia abiejose pusėse pridedame 7:

`5x, 7 + 7 = 18 + 7` `5x = 25`

Dabar x padaugintas iš 5, todėl abi puses dalijame iš 5:

`x = 5`

Svarbu užrašyti tarpinius veiksmus. Galvoje atliktas sprendimas kartais atrodo greitesnis, tačiau kontroliniame darbe būtent praleista eilutė dažnai slepia klaidą. Tvarkingas užrašymas leidžia ją rasti dar neperrašius viso sprendimo.

2. Suvienodinkite panašius narius

Jeigu x yra abiejose lygties pusėse, pirmiausia surinkite nežinomuosius vienoje pusėje. Pavyzdžiui:

`4x + 9 = 2x + 19`

Iš abiejų pusių atimame `2x`:

`2x + 9 = 19`

Tuomet iš abiejų pusių atimame 9:

`2x = 10`

Padaliję iš 2, gauname `x = 5`.

Mokiniai dažnai sako, kad „2x perkeliame per lygybės ženklą ir pakeičiame ženklą“. Taip trumpai galima apibūdinti veiksmą, bet verta suprasti jo pagrindą: abiejose pusėse atėmėme `2x`. Kai logika aiški, mažiau painiavos kyla ir sudėtingesnėse lygtyse.

3. Atsargiai atverkite skliaustus

Skliaustai dažnai sukuria įspūdį, kad lygtis yra daug sunkesnė, nei yra iš tikrųjų. Reikia prisiminti, kad skaičius prieš skliaustus dauginamas iš kiekvieno nario skliaustuose.

Pavyzdžiui:

`3(2x, 1), 4 = x + 8`

Atveriame skliaustus:

`6x, 3, 4 = x + 8`

Sujungiame skaičius:

`6x, 7 = x + 8`

Atimame x iš abiejų pusių, tada pridedame 7:

`5x = 15` `x = 3`

Ypač daug klaidų atsiranda, kai prieš skliaustus yra minusas: `-(x, 4)` yra `-x + 4`, o ne `-x, 4`. Šį veiksmą verta atlikti lėtai, net jei likusi lygtis atrodo paprasta.

Trupmeninės lygtys: pradėkite nuo vardiklių

Trupmenos nebūtinai reiškia sudėtingą uždavinį. Dažniausiai patogiausia panaikinti vardiklius, padauginant abi lygties puses iš bendro vardiklio.

Spręskime:

`x/3 + 1/2 = 5/6`

Skaičių 3, 2 ir 6 mažiausias bendras kartotinis yra 6. Todėl kiekvieną lygties narį dauginame iš 6:

`6 · x/3 + 6 · 1/2 = 6 · 5/6`

Gauname:

`2x + 3 = 5` `2x = 2` `x = 1`

Jei vardiklyje yra nežinomasis, pirmiausia būtina nurodyti, kokių x reikšmių negalima imti. Pavyzdžiui, reiškinyje `1/(x, 2)` negalima, kad `x = 2`, nes dalyba iš nulio negalima. Ši sąlyga ypač svarbi vyresnėse klasėse: kartais atlikus pertvarkymus gaunamas formaliai tinkamas, bet pradinei lygčiai netinkantis atsakymas.

Kvadratinės lygtys: rinkitės būdą pagal užduotį

Kvadratinėje lygtyje yra `x²`, pavyzdžiui, `x², 5x + 6 = 0`. Jei reiškinį galima lengvai išskaidyti dauginamaisiais, tai dažniausiai yra greičiausias kelias:

`x², 5x + 6 = (x, 2)(x, 3)`

Kad sandauga būtų lygi nuliui, bent vienas dauginamasis turi būti lygus nuliui. Vadinasi, `x, 2 = 0` arba `x, 3 = 0`, todėl sprendiniai yra `x = 2` ir `x = 3`.

Ne kiekviena kvadratinė lygtis taip patogiai išskaidoma. Tuomet taikoma diskriminanto formulė arba, kai užduotis leidžia, pilno kvadrato išskyrimas. Kurį būdą rinktis, priklauso nuo skaičių ir nuo to, ką jau mokotės klasėje. Egzamine verta mokėti ne tik formulę, bet ir atpažinti, kada uždavinį galima išspręsti trumpiau.

Tekstiniame uždavinyje lygtis prasideda nuo sakinio

Kartais mokinys puikiai sprendžia lygtį, tačiau stringa, kai ją reikia sudaryti iš teksto. Čia padeda ne skubus skaičiavimas, o aiškus nežinomojo pasirinkimas.

Tarkime, po 15 proc. nuolaidos kuprinė kainuoja 34 eurus. Kokia buvo pradinė jos kaina? Pažymėkime pradinę kainą x. Po nuolaidos lieka 85 proc. kainos, todėl rašome `0,85x = 34`. Padaliję abi puses iš 0,85 gauname `x = 40`. Pradinė kuprinės kaina buvo 40 eurų.

Prieš sudarant lygtį verta paklausti savęs: ką žinau, ko ieškau ir kaip šie dydžiai susiję? Greičio, darbo, procentų ar mišinių uždaviniuose naudinga nusibraižyti mažą lentelę. Ji užima kelias sekundes, bet apsaugo nuo painiavos tarp, pavyzdžiui, procento ir procentinio punkto arba greičio ir nueito kelio.

Patikra nėra papildomas darbas

Gavus x reikšmę, įstatykite ją į pradinę lygtį. Jei sprendėme `5x, 7 = 18` ir gavome `x = 5`, tikriname:

`5 · 5, 7 = 18` `25, 7 = 18` `18 = 18`

Vadinasi, sprendinys teisingas. Patikra ypač reikalinga sprendžiant lygtis su skliaustais, trupmenomis ir keliais pertvarkymo etapais. Ji ne tik aptinka klaidą, bet ir augina pasitikėjimą savo darbu.

Jeigu patikra nepavyksta, nereikia iš karto pradėti visko iš naujo. Pirmiausia peržiūrėkite vietas, kuriose dažniausiai suklystama: ženklus prie neigiamų skaičių, skliaustų atvėrimą, trupmenų daugybą ir dalybą. Dažnai klaida būna vienoje konkrečioje eilutėje.

Kai lygtis vis dar atrodo per sunki

Vien tik daug spręsti neužtenka, jei kiekvieną kartą kartojama ta pati klaida. Vienam mokiniui reikia sustiprinti veiksmus su sveikaisiais skaičiais, kitam, trupmenas, trečiam, išmokti ramiai perskaityti tekstinę užduotį. Todėl pažanga prasideda nuo tikslaus spragos nustatymo.

Naudinga spręsti trumpomis, reguliariomis atkarpomis: kelios panašios lygtys, tada viena mišresnė užduotis ir patikra. Kai pagrindinis metodas tampa įprastas, verta pereiti prie sudėtingesnių pavyzdžių bei užduočių, panašių į būsimų atsiskaitymų formatą. Jei savarankiškai nepavyksta suprasti, kur dingsta logika, kryptingas mokytojo paaiškinimas gali sutaupyti daug valandų. „Edup“ pamokose mokinys mokosi ne tik gauti atsakymą, bet ir aiškiai pagrįsti kiekvieną sprendimo žingsnį.

Lygtis pradeda sektis tada, kai vietoje minties „aš nemoku matematikos“ atsiranda kitas klausimas: „kurio žingsnio dar nesuprantu?“ Vienas aiškiai išmoktas žingsnis šiandien dažnai tampa tvirtu pagrindu rytojaus uždaviniui.

Susijusi paslauga: Pirmoji matematikos pamoka internetu už 1 €