+370 625 21567PrisijungtiRegistruotis į pamokąRegistruotis
Formulės/Algebra

Funkcijos riba

Funkcijos f(x) riba taške a yra skaičius L, prie kurio artėja reikšmės f(x), kai x artėja prie a iš abiejų pusių. Pati reikšmė f(a) ribai nesvarbi: funkcija taške a gali būti net neapibrėžta.

lim (x → a) f(x) = L
x → a
x artėja prie a, bet jo nepasiekia
L
riba: skaičius, prie kurio artėja funkcijos reikšmės
f(a)
reikšmė pačiame taške, ribai ji nesvarbi
Interaktyvus brėžinys

Pažiūrėkite, kaip veikia riba

Pasirinkite tašką ir stumkite slankiklį. Du taškai artėja iš kairės ir iš dešinės, o jų reikšmės matomos y ašyje.

Santrauka

Visi trys taškai vienoje lentelėje

Riba egzistuoja tik tada, kai riba iš kairės ir riba iš dešinės yra lygios.

x → -3x → -1x → 2
Riba iš kairės314
Riba iš dešinės311
Riba31nėra
Reikšmė taške214

Grafikas ir reikšmės paimti iš konspekto „Funkcijos 2“, kurį rasite pamokoms.lt.

Skaičiavimas

Kaip apskaičiuoti ribą

Pirmiausia visada pabandykite įstatyti reikšmę. Nuo to, kas gaunama, priklauso tolesnė eiga.

1 būdas

Funkcija taške tolydi: reikšmę įstatome

Daugianariai, pavyzdžiui x² + 1, yra tolydūs visur. Tokios funkcijos riba lygi jos reikšmei tame taške.

  1. Įstatome x = 2
    lim (x → 2) (x² + 1) = 2² + 1 = 5
Atsakymas: lim (x → 2) (x² + 1) = 5
2 būdas

Įstačius gaunama 0/0: reiškinį prastiname

Jei įstačius ir skaitiklis, ir vardiklis tampa lygūs nuliui, ribos dar nežinome. Reiškinį reikia suprastinti ir tik tada įstatyti.

  1. Pabandome įstatyti x = 3
    (3² - 9)/(3 - 3) = 0/0

    Gavome neapibrėžtumą 0/0, todėl įstatyti negalima.

  2. Išskaidome skaitiklį ir suprastiname
    lim (x → 3) (x² - 9)/(x - 3) = lim (x → 3) ((x - 3)(x + 3))/(x - 3) = lim (x → 3) (x + 3)

    Taikome formulę a² - b² = (a - b)(a + b). Prastinti galima, nes x tik artėja prie 3, bet jam nelygus, todėl x - 3 ≠ 0.

  3. Įstatome x = 3
    lim (x → 3) (x + 3) = 3 + 3 = 6
Atsakymas: lim (x → 3) (x² - 9)/(x - 3) = 6
Pavyzdžiai

Sprendžiami pavyzdžiai

1 pavyzdys

Apskaičiuokite lim (x → 1) (x² - 1)/(x - 1)

  1. Pabandome įstatyti x = 1
    (1² - 1)/(1 - 1) = 0/0

    Neapibrėžtumas, todėl prastiname.

  2. Išskaidome skaitiklį ir suprastiname
    lim (x → 1) (x² - 1)/(x - 1) = lim (x → 1) ((x - 1)(x + 1))/(x - 1) = lim (x → 1) (x + 1)
  3. Įstatome x = 1
    lim (x → 1) (x + 1) = 1 + 1 = 2
Atsakymas: lim (x → 1) (x² - 1)/(x - 1) = 2
2 pavyzdys

Apskaičiuokite lim (x → 0) (x² + 2x)/x

  1. Pabandome įstatyti x = 0
    (0² + 2 · 0)/0 = 0/0

    Neapibrėžtumas, todėl prastiname.

  2. Iškeliame x prieš skliaustus ir suprastiname
    lim (x → 0) (x² + 2x)/x = lim (x → 0) (x(x + 2))/x = lim (x → 0) (x + 2)
  3. Įstatome x = 0
    lim (x → 0) (x + 2) = 0 + 2 = 2
Atsakymas: lim (x → 0) (x² + 2x)/x = 2
Sąvokos

Ką dar verta žinoti

Vienpusės ribos
lim (x → a⁻) f(x) = lim (x → a⁺) f(x) = L

Riba egzistuoja tik tada, kai riba iš kairės ir riba iš dešinės yra lygios.

Tolydumas taške
lim (x → a) f(x) = f(a)

Funkcija tolydi taške a, kai riba sutampa su reikšme. Tada grafiką galima nubrėžti neatitraukiant pieštuko.

Riba begalybėje
lim (x → +∞) (3x + 2)/x = lim (x → +∞) (3 + 2/x) = 3

Kai x didėja be galo, trupmena 2/x artėja prie nulio, todėl lieka 3.

Riba ir išvestinė
f'(a) = lim (Δ x → 0) (f(a + Δ x) - f(a))/(Δ x)

Išvestinė apibrėžiama kaip riba, todėl ribos mokomasi prieš išvestines.

Išvestinių formulės
Klaidos

Dažniausios klaidos

  • Riba painiojama su reikšme. Riba rodo, kur veda grafikas, o ne tai, kas yra pačiame taške.
  • Gavus 0/0 rašoma, kad ribos nėra. Tai tik ženklas, kad reiškinį reikia suprastinti.
  • Pamirštamas ženklas lim. Kol reikšmė neįstatyta, kiekvienoje eilutėje rašoma lim (x → a).
  • Tikrinama tik viena pusė. Riba egzistuoja tik tada, kai iš kairės ir iš dešinės artėjama prie to paties skaičiaus.
DUK

Klausimai apie funkcijos ribą

Kas yra funkcijos riba?+
Funkcijos riba taške a yra skaičius L, prie kurio artėja funkcijos reikšmės f(x), kai x artėja prie a iš abiejų pusių. Užrašoma lim (x → a) f(x) = L.
Ar riba visada lygi funkcijos reikšmei?+
Ne. Riba lygi reikšmei f(a) tik tada, kai funkcija taške a tolydi. Riba gali egzistuoti ir tada, kai reikšmė taške kitokia arba funkcija ten neapibrėžta.
Kada funkcijos riba neegzistuoja?+
Kai artėjant iš kairės ir iš dešinės gaunamos skirtingos reikšmės, pavyzdžiui, kai grafikas taške nutrūksta ir tęsiasi kitame aukštyje. Ribos nėra ir tada, kai reikšmės neartėja prie jokio skaičiaus.
Ką daryti, kai skaičiuojant ribą gaunama 0/0?+
Reiškinį reikia suprastinti: skaitiklį ir vardiklį išskaidyti dauginamaisiais ir suprastinti bendrą daugiklį. Pavyzdžiui, lim (x → 3) (x² - 9)/(x - 3) = lim (x → 3) (x + 3) = 6.
Kuo riba susijusi su išvestine?+
Išvestinė apibrėžiama kaip riba: tai funkcijos pokyčio ir argumento pokyčio santykio riba, kai argumento pokytis Δ x artėja prie nulio.

Susijusios formulės

Išvestinių formulėsGreitosios daugybos formulėsKvadratinė lygtisParabolės viršūnėVisos algebros formulės

Ribos ir išvestinės nesiseka?

Pirmoji pamoka su mokytoju už 1 €. Toliau pagal individualų planą.

Pirma pamoka vos 1 €