Vienetinis apskritimas
Vienetinis apskritimas yra apskritimas, kurio centras yra koordinačių pradžioje, o spindulys lygus 1. Posūkio kampą α atitinkantis apskritimo taškas turi koordinates P(cos α; sin α): kosinusas yra taško x koordinatė, sinusas yra y koordinatė.
- α
- posūkio kampas, atidedamas nuo teigiamosios x ašies prieš laikrodžio rodyklę
- cos α
- taško P koordinatė x
- sin α
- taško P koordinatė y
- tg α
- santykis (sin α)/(cos α)
Vienetinis apskritimas ir funkcijų grafikai
Tempkite raudoną tašką apskritimu arba grafike. Pasirinkite funkciją ir stebėkite, kaip trikampio kraštinė virsta grafiko tašku.
Sinuso, kosinuso ir tangento reikšmės
Tikslios reikšmės kampams nuo 0° iki 360°. Paryškintos eilutės yra taškai ant ašių.
| Laipsniai | Radianai | sin α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | (π)/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | (π)/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | (π)/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | (π)/2 | 1 | 0 | nėra |
| 120° | (2π)/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 |
| 135° | (3π)/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 |
| 150° | (5π)/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 |
| 210° | (7π)/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 |
| 225° | (5π)/4 | -√2/2 | -√2/2 | 1 |
| 240° | (4π)/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 |
| 270° | (3π)/2 | -1 | 0 | nėra |
| 300° | (5π)/3 | -√3/2 | 1/2 | -√3 |
| 315° | (7π)/4 | -√2/2 | √2/2 | -1 |
| 330° | (11π)/6 | -1/2 | √3/2 | -√3/3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Ženklai ketvirčiuose
Ženklą lemia tai, kurioje ašių pusėje yra taškas: virš x ašies sinusas teigiamas, dešiniau y ašies kosinusas teigiamas.
I ketvirtis
II ketvirtis
III ketvirtis
IV ketvirtis
Kaip rasti sinusą ir kosinusą bet kuriam kampui
Pavyzdys su kampu 150°.
Nustatykite ketvirtį
Tai II ketvirtis: sinusas teigiamas, kosinusas neigiamas.
Raskite kampą iki x ašies
Tiek trūksta iki artimiausios x ašies pusės.
Paimkite reikšmę ir uždėkite ženklą
Reikšmės tokios pat kaip kampo 30°, skiriasi tik ženklas.
Sprendžiami pavyzdžiai
Raskite sin 210° ir cos 210°.
- Kampas 210° yra III ketvirtyje, todėl ir sinusas, ir kosinusas neigiami.
- Kampas iki x ašies: 210° - 180° = 30°.
- sin 210° = - sin 30° = -1/2.
- cos 210° = - cos 30° = -√3/2.
Raskite tg 135°.
- Kampas 135° yra II ketvirtyje: sinusas teigiamas, kosinusas neigiamas.
- Kampas iki x ašies: 180° - 135° = 45°.
- sin 135° = √2/2, cos 135° = -√2/2.
- tg 135° = (sin 135°)/(cos 135°) = -1.
Iš kur atsiranda pagrindinė tapatybė?
Nuleiskite iš taško P statmenį į x ašį. Gaunamas statusis trikampis, kurio įžambinė yra spindulys, lygus 1, o statiniai lygūs cos α ir sin α.
Pritaikius Pitagoro teoremą gaunama sin²α + cos²α = 1. Ši lygybė galioja bet kuriam kampui. Daugiau tapatybių rasite puslapyje trigonometrijos formulės.
Dažniausios klaidos
- Sukeičiami sinusas ir kosinusas. Kosinusas yra taško x koordinatė, sinusas yra y koordinatė.
- Pamirštamas ženklas. Reikšmė paimama iš kampo 30°, 45° ar 60°, bet ženklą lemia ketvirtis.
- Kampas atidedamas ne ta kryptimi. Teigiamas kampas atidedamas prieš laikrodžio rodyklę, neigiamas pagal ją.
- Skaičiuotuvas nustatytas radianais. Tada vietoje sin 30° = 0,5 gaunama maždaug -0,99.
Klausimai apie vienetinį apskritimą
Kas yra vienetinis apskritimas?+
Kaip vienetiniame apskritime rasti sinusą ir kosinusą?+
Kodėl apskritimo spindulys lygus 1?+
Kuriuose ketvirčiuose sinusas ir kosinusas neigiami?+
Kaip iš vienetinio apskritimo rasti tangentą?+
Trigonometrija nesiseka?
Pirmoji pamoka su mokytoju už 1 €. Toliau pagal individualų planą.